Как найти выборочное среднее: формулы, методы и особенности

Для кого эта статья:

• начинающие и опытные аналитики данных
• студенты и профессионалы, интересующиеся статистикой и анализом данных

• специалисты в области бизнеса и науки, принимающие решения на основе данных

  Каждый аналитик данных рано или поздно сталкивается с необходимостью расчёта выборочного среднего — этого базового и вместе с тем мощного статистического показателя. Точное понимание его вычисления может кардинально изменить интерпретацию ваших данных и качество принимаемых решений. 📊 Некорректный расчёт среднего значения приводит к систематическим ошибкам в анализе и потенциально дорогостоящим просчётам в бизнесе, науке или исследовательской деятельности.

Хотите освоить не только расчёт выборочного среднего, но и весь инструментарий современного аналитика? Курс «Аналитик данных» с нуля от Skypro предлагает глубокое погружение в статистические методы, программирование на Python и R, визуализацию данных и принятие решений на основе аналитики. Выпускники курса свободно оперируют сложными статистическими концепциями и востребованы на рынке труда в 2025 году.

Определение выборочного среднего и его значение

Выборочное среднее — это статистическая величина, представляющая собой оценку среднего значения генеральной совокупности, рассчитанную на основе выборки. Иными словами, это арифметическое среднее всех элементов выборки, которое мы используем, чтобы приближенно оценить среднее значение всей генеральной совокупности.

Значение выборочного среднего трудно переоценить в статистическом анализе. Оно выполняет несколько ключевых функций:

• Служит мерой центральной тенденции распределения данных
• Является оценкой математического ожидания генеральной совокупности
• Формирует основу для расчёта дисперсии и других статистических характеристик
• Позволяет оценивать параметры генеральной совокупности
• Используется в построении доверительных интервалов

В статистической теории выборочное среднее обозначается как x̄ (произносится "x-bar") и является несмещенной оценкой математического ожидания генеральной совокупности. Это означает, что при многократном извлечении выборок из одной и той же генеральной совокупности и вычислении для каждой из них выборочного среднего, среднее значение всех этих выборочных средних будет стремиться к истинному значению математического ожидания генеральной совокупности.

Часто начинающие аналитики путают выборочное среднее с генеральным средним. Ключевое различие заключается в том, что выборочное среднее — это статистика, полученная из доступной нам выборки, в то время как генеральное среднее — это параметр всей совокупности, который мы обычно стремимся оценить.

Базовые формулы нахождения выборочного среднего

Для вычисления выборочного среднего существует несколько формул, зависящих от типа и структуры данных. Рассмотрим основные из них.

Алексей Петров, ведущий аналитик данных Когда я только начинал работать с большими наборами данных, я последовательно совершал одну и ту же ошибку в расчётах выборочного среднего для сгруппированных данных. Вместо того чтобы учитывать частоту каждого значения, я просто суммировал уникальные значения и делил на их количество. Это приводило к критическим ошибкам в прогнозах продаж для крупного ритейлера. Однажды наш отдел потерял почти 2 миллиона рублей из-за неверно рассчитанного среднего чека. После этого случая я создал для своей команды небольшую шпаргалку с формулами для разных типов данных и сценариев использования. С тех пор мы называем корректный расчёт выборочного среднего "принципом двух миллионов" — напоминание о цене статистической небрежности.

Основная формула выборочного среднего для несгруппированных данных:

x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n = ∑xᵢ / n

где:

• x̄ – выборочное среднее
• xᵢ – i-ое наблюдение в выборке
• n – объем выборки (количество наблюдений)
• ∑ – знак суммирования

Для сгруппированных данных (когда имеются повторяющиеся значения) используется формула с учётом частот:

x̄ = (f₁x₁ + f₂x₂ + ... + fₖxₖ) / (f₁ + f₂ + ... + fₖ) = ∑fᵢxᵢ / ∑fᵢ

где:

• fᵢ – частота i-го значения
• xᵢ – i-ое уникальное значение
• k – количество уникальных значений

Для интервальных данных, когда значения сгруппированы в классы или интервалы, применяется формула:

x̄ = ∑fᵢmᵢ / ∑fᵢ

где:

• mᵢ – середина i-го интервала (класса)
• fᵢ – частота или количество наблюдений в i-ом интервале

В случае взвешенных данных, когда каждое наблюдение имеет свой "вес" или важность, используется взвешенное среднее:

x̄ᵥ = ∑wᵢxᵢ / ∑wᵢ

где:

• wᵢ – вес i-го наблюдения
• xᵢ – значение i-го наблюдения

При работе с временными рядами или последовательными данными иногда применяется скользящее среднее:

MA(m)ₜ = (xₜ + xₜ₋₁ + ... + xₜ₋ₘ₊₁) / m

где:

• MA(m)ₜ – скользящее среднее порядка m в момент времени t
• m – порядок скользящего среднего (ширина "окна")

Правильный выбор формулы критически важен для получения корректной оценки среднего значения исследуемой величины. 📈

Методы вычисления для различных типов данных

В зависимости от типа данных, их структуры и объёма применяются различные методы вычисления выборочного среднего. Каждый метод имеет свои преимущества и особенности применения.

Прямой метод

Наиболее простой и интуитивно понятный способ — прямое вычисление по базовой формуле. Этот метод идеален для небольших объёмов несгруппированных данных:

1. Суммируем все значения в выборке
2. Делим полученную сумму на количество наблюдений

Например, для набора данных {2, 5, 3, 8, 7} выборочное среднее будет равно (2 + 5 + 3 + 8 + 7) / 5 = 25 / 5 = 5.

Метод отклонений от условного среднего

При работе с крупными наборами данных или с числами большой величины прямой метод может привести к ошибкам округления. В таких случаях применяется метод отклонений:

x̄ = A + (∑(xᵢ – A) / n)

где A — произвольно выбранное число, обычно близкое к предполагаемому среднему.

Этот метод уменьшает влияние ошибок округления, особенно при ручных вычислениях.

Рекуррентный метод

При последовательной обработке данных (например, в потоковой аналитике) удобно использовать рекуррентный метод, позволяющий обновлять среднее значение при добавлении нового наблюдения:

x̄ₙ = x̄ₙ₋₁ + (xₙ – x̄ₙ₋₁) / n

где:

• x̄ₙ — среднее после добавления n-го наблюдения
• x̄ₙ₋₁ — среднее до добавления n-го наблюдения
• xₙ — значение n-го наблюдения

Метод для категориальных данных с числовой интерпретацией

Если категориальным данным присвоены числовые коды, можно вычислить выборочное среднее с учётом частоты каждой категории:

x̄ = ∑(категория_i × частота_i) / общее_количество_наблюдений

Однако интерпретировать такое среднее следует осторожно, особенно если числовые коды не имеют количественного смысла.

Марина Соколова, руководитель отдела аналитики В 2023 году наша команда работала над моделью прогнозирования потребления электроэнергии для крупной энергетической компании. Датасет включал показания с тысяч счетчиков, собираемые каждые 15 минут — более миллиарда записей за три года. Обычный подход с загрузкой всех данных в память и вычислением выборочного среднего приводил к крашу системы. Переход на рекуррентный метод вычисления среднего позволил нам обрабатывать данные потоково, без загрузки всего массива в память. Этот кейс убедительно показал, насколько важно выбирать правильный метод вычисления, исходя из характера данных. Мы внедрили многоуровневую систему агрегации: вычисляли средние для каждого счетчика по часам, затем объединяли результаты для районов и, наконец, получали общегородской показатель. Точность модели при этом возросла с 68% до 92%.

Особенности расчета при наличии выбросов

Выбросы — это значения, значительно отклоняющиеся от основной массы данных. Они могут существенно искажать выборочное среднее, особенно при небольших объёмах выборки. 🔍

Рассмотрим набор данных: {25, 23, 24, 26, 22, 120}. Последнее значение (120) является выбросом. Выборочное среднее равно (25 + 23 + 24 + 26 + 22 + 120) / 6 = 240 / 6 = 40. Однако, если исключить выброс, получим среднее (25 + 23 + 24 + 26 + 22) / 5 = 120 / 5 = 24, что значительно лучше отражает центральную тенденцию данных.

Существует несколько подходов к работе с выбросами при расчёте среднего:

1. Робастные оценки среднего значения:

   • Усеченное среднее — рассчитывается после отбрасывания определенного процента (обычно 5-10%) крайних значений с обоих концов упорядоченной выборки.
   • Винзоризованное среднее — крайние значения не отбрасываются, а заменяются на ближайшие к ним "нормальные" значения.
   • Медиана — центральное значение упорядоченной выборки, устойчивое к выбросам.

2. Методы обнаружения и обработки выбросов:

   • Правило трёх сигм — значения, отстоящие от среднего более чем на 3 стандартных отклонения, считаются выбросами.
   • Метод межквартильного размаха (IQR) — выбросами считаются значения, выходящие за пределы Q1 – 1.5×IQR и Q3 + 1.5×IQR, где Q1 и Q3 — первый и третий квартили, а IQR = Q3 – Q1.
   • Z-оценки — стандартизованные значения, выходящие за определенный порог (обычно |z| > 2.5 или |z| > 3).

Рассмотрим, как применение разных подходов влияет на оценку среднего:

Исходные данные: {15, 17, 19, 20, 21, 22, 24, 88}

Арифметическое среднее: 28.25
Усеченное среднее (10%): 20.17
Медиана: 20.5
Среднее после удаления выбросов (IQR): 19.71

При анализе данных с потенциальными выбросами рекомендуется:

• Визуализировать данные перед вычислением статистик (гистограммы, ящики с усами)
• Рассчитывать несколько показателей центральной тенденции для сравнения
• Документировать методы обработки выбросов для обеспечения воспроизводимости результатов
• Понимать природу данных — иногда выбросы несут важную информацию и не должны исключаться

Выбор метода обработки выбросов зависит от конкретной задачи, распределения данных и предметной области. Не существует универсального "правильного" подхода — некорректное исключение значимых экстремальных значений может привести к потере важной информации и искажению результатов анализа.

Не уверены, подходит ли вам карьера аналитика данных? Сомневаетесь, хватит ли математических навыков для работы со статистикой? Тест на профориентацию от Skypro поможет оценить ваши предрасположенности и определить, насколько аналитика данных соответствует вашим сильным сторонам. По результатам вы получите персональные рекомендации по развитию навыков, необходимых для успешной карьеры в data-аналитике.

Практические инструменты для нахождения выборочного среднего

Современные аналитики редко вычисляют выборочное среднее вручную, особенно при работе с большими наборами данных. Существует множество инструментов, автоматизирующих этот процесс и предоставляющих дополнительные возможности для анализа. 💻

Программные средства и библиотеки

Python стал стандартом де-факто для статистического анализа данных в 2025 году. Для вычисления выборочного среднего используются следующие библиотеки:

# NumPy — базовая библиотека для научных вычислений
import numpy as np
data = [1, 2, 3, 4, 5]
mean = np.mean(data) # 3.0

# Pandas — библиотека для работы с табличными данными
import pandas as pd
df = pd.DataFrame({'value': [1, 2, 3, 4, 5]})
mean = df['value'].mean() # 3.0

# SciPy — библиотека для научных и технических вычислений
from scipy import stats
mean = stats.tmean(data) # 3.0 (обычное среднее)
trimmed_mean = stats.trim_mean(data, 0.2) # 3.0 (усеченное среднее с отбрасыванием 20% крайних значений)

R также остаётся популярным языком для статистического анализа:

# Базовые функции R
data <- c(1, 2, 3, 4, 5)
mean(data) # 3

# Пакет dplyr
library(dplyr)
df <- data.frame(value = c(1, 2, 3, 4, 5))
df %>% summarise(mean_value = mean(value)) # 3

# Робастные оценки
library(robust)
mean.trim(data, trim = 0.2) # усеченное среднее

Оптимизированные алгоритмы для больших данных

При работе с большими объёмами данных требуются алгоритмы, оптимизированные по памяти и времени выполнения:

• Parallel Computing — распараллеливание вычислений среднего при обработке больших массивов данных
• Divide and Conquer — разбиение данных на части, вычисление частичных средних и их объединение
• Streaming Algorithms — вычисление среднего в режиме реального времени по мере поступления данных

# Пример рекуррентного алгоритма для потоковой обработки
def streaming_mean():
count = 0
mean = 0

while True:
x = get_next_value() # Функция получения следующего значения
if x is None: # Проверка на завершение потока
break

count += 1
mean += (x – mean) / count

return mean

Электронные таблицы и статистические пакеты

Для быстрых расчетов и визуализации данных удобны электронные таблицы и специализированные статистические пакеты:

• Microsoft Excel/Google Sheets: функции AVERAGE, AVERAGEIF, AVERAGEIFS, TRIMMEAN
• SPSS: процедуры Descriptive Statistics, Explore
• Stata: команды mean, ameans, tabstat
• Tableau: возможности вычисления и визуализации агрегированных показателей

Облачные сервисы и Big Data инструменты

В эпоху облачных вычислений появились специализированные инструменты для обработки массивных объёмов данных:

• Apache Spark: функции spark.sql.functions.mean(), DataFrame.agg({'column': 'mean'})
• Apache Hadoop с MapReduce для распределенного вычисления средних
• Google BigQuery: функции AVG(), функции для работы с выборками
• Amazon Redshift: оптимизированные SQL-запросы для агрегации данных

При выборе инструмента для вычисления выборочного среднего следует учитывать:

• Объём и характер данных
• Необходимость обработки выбросов
• Требования к производительности
• Интеграцию с существующими системами
• Необходимость дополнительного статистического анализа

Современные инструменты предоставляют гораздо больше возможностей, чем просто вычисление среднего — они позволяют проводить комплексный анализ данных, включая оценку неопределённости, построение доверительных интервалов и проверку статистических гипотез. 📈

Выборочное среднее — это фундаментальная статистика, которая, несмотря на свою кажущуюся простоту, требует глубокого понимания при применении в реальном анализе данных. Правильный выбор формулы, метода вычисления и подхода к обработке выбросов напрямую влияет на качество статистических выводов и принимаемых решений. Освоив различные техники расчета выборочного среднего и понимая их сильные и слабые стороны, аналитик получает мощный инструмент для извлечения ценной информации даже из самых сложных наборов данных.