Как находить стандартное отклонение: простые способы расчёта

Для кого эта статья:

• студенты и начинающие аналитики данных
• специалисты в области статистики и анализа данных

• профессионалы, заинтересованные в улучшении своих навыков в статистике и анализе данных

  Когда мы анализируем данные, недостаточно знать только среднее значение — ведь оно не показывает, насколько разбросаны наблюдения. Представьте две команды с одинаковым средним ростом игроков: 180 см. Но в первой все близки к этому значению, а во второй есть как двухметровые гиганты, так и низкорослые игроки. Именно стандартное отклонение позволяет увидеть эту разницу одним числом! Эта статистическая мера разброса данных используется повсюду: от контроля качества продукции до анализа инвестиционных рисков. 📊

Хотите уверенно работать с данными и превратить числа в ценные инсайты? Курс «Аналитик данных» с нуля от Skypro научит вас не только рассчитывать стандартное отклонение, но и применять десятки статистических методов на практике. Вы освоите Excel, SQL и Python для анализа данных, научитесь строить убедительную визуализацию и принимать решения, основанные на фактах. Инвестируйте в навыки, которые остаются востребованными даже в эпоху ИИ!

Что такое стандартное отклонение и зачем его находить

Стандартное отклонение — это статистическая мера, показывающая, насколько значения в наборе данных рассеяны относительно среднего арифметического. Проще говоря, это число, которое показывает, насколько типичные значения отклоняются от среднего. 🎯

Елена Петрова, преподаватель математической статистики

На первой лекции я всегда показываю студентам два набора тестовых баллов. В обоих средний балл равен 70. "Как думаете, эти группы одинаковые?" – спрашиваю я. Многие отвечают утвердительно, ведь средний балл одинаковый! Затем я показываю распределение: в первой группе все студенты получили от 65 до 75 баллов, а во второй половина студентов набрала 50, а другая половина – 90. Глаза студентов расширяются: "Это же совершенно разные ситуации!" Именно тогда я объясняю, что стандартное отклонение в первой группе составляет около 3, а во второй – 20. Одно число моментально показало огромную разницу в однородности результатов.

Зачем же нам нужно стандартное отклонение? Вот ключевые причины:

• Оценка разброса данных – позволяет увидеть, насколько значения отклоняются от среднего
• Определение однородности группы – низкое отклонение означает, что данные сгруппированы плотно
• Выявление выбросов – значения, отстоящие от среднего более чем на 2-3 стандартных отклонения, обычно считаются аномалиями
• Оценка точности измерений – особенно важно в научных экспериментах
• Расчёт доверительных интервалов – критически важно для статистических выводов

Стандартное отклонение обозначается греческой буквой σ (сигма) для генеральной совокупности и латинской буквой s для выборки. Интуитивно его можно понимать как "средний разброс" значений относительно среднего значения.

Базовые формулы расчёта стандартного отклонения

Существует две чуть различающиеся формулы стандартного отклонения – для генеральной совокупности и для выборки. Это важно понимать, поскольку неправильный выбор формулы может привести к систематической ошибке в расчетах. 📝

Для генеральной совокупности (когда у нас есть данные обо всех возможных наблюдениях) формула выглядит так:

σ = √(Σ(x – μ)² / N)

где:
σ (сигма) – стандартное отклонение генеральной совокупности
x – каждое значение в наборе данных
μ (мю) – среднее арифметическое всех значений
N – общее количество значений
Σ – знак суммы

Для выборки (когда мы анализируем только часть наблюдений) используется несмещенная оценка:

s = √(Σ(x – x̄)² / (n – 1))

где:
s – стандартное отклонение выборки
x – каждое значение в выборке
x̄ – среднее арифметическое выборки
n – размер выборки
Σ – знак суммы

Обратите внимание на ключевое различие: в знаменателе для выборки используется (n – 1) вместо N. Это называется поправкой Бесселя и применяется для получения несмещенной оценки стандартного отклонения генеральной совокупности.

Существует также альтернативная форма записи этих формул, которая математически эквивалентна, но иногда удобнее для расчетов:

σ = √(Σx² / N – μ²) // для генеральной совокупности
s = √(Σx² / (n – 1) – n·x̄² / (n – 1)) // для выборки

Эта форма может быть полезна для ручных расчетов, так как требует меньше операций вычитания, особенно при работе с большими числами. 🧠

Пошаговый алгоритм нахождения стандартного отклонения

Рассчитать стандартное отклонение можно вручную, следуя простому алгоритму из шести шагов. Давайте разберем весь процесс на конкретном примере. Представим, что мы анализируем время выполнения задачи (в минутах) пятью сотрудниками: 12, 15, 18, 10, 20. 🕒

1. Найдите среднее арифметическое (x̄) Сложите все значения и разделите на их количество: x̄ = (12 + 15 + 18 + 10 + 20) / 5 = 75 / 5 = 15

2. Вычислите отклонение каждого значения от среднего 12 – 15 = -3 15 – 15 = 0 18 – 15 = 3 10 – 15 = -5 20 – 15 = 5

3. Возведите каждое отклонение в квадрат (-3)² = 9 0² = 0 3² = 9 (-5)² = 25 5² = 25

4. Найдите сумму квадратов отклонений 9 + 0 + 9 + 25 + 25 = 68

5. Разделите на (n – 1) для выборки или на N для генеральной совокупности Для выборки: 68 / (5 – 1) = 68 / 4 = 17

6. Извлеките квадратный корень из полученного значения s = √17 ≈ 4.12

Итак, стандартное отклонение времени выполнения задачи составляет примерно 4.12 минуты. Это означает, что в среднем сотрудники отклоняются от среднего времени выполнения (15 минут) на 4.12 минуты в обе стороны. 📈

Александр Волков, аналитик данных

Работая с проектом по оптимизации логистической цепочки, я столкнулся с необходимостью оценить стабильность времени доставки. У нас были данные по 120 маршрутам со средним временем доставки 45 минут. Когда я рассчитал стандартное отклонение, оно составило 12 минут. Это означало, что примерно 68% доставок происходили в интервале от 33 до 57 минут. Однако после разделения маршрутов по районам города, стандартное отклонение внутри каждого района составило всего 5-7 минут! Это помогло нам понять, что основная вариативность времени доставки связана с географическим фактором, а не с работой курьеров. Мы перестроили систему прогнозирования времени доставки с учетом районирования, и точность прогнозов выросла на 35%.

Для более наглядного представления процесса расчета можно использовать таблицу:

Расчёт стандартного отклонения в Excel и других программах

Ручной расчет стандартного отклонения полезен для понимания принципа, но на практике гораздо эффективнее использовать специализированное ПО. Рассмотрим наиболее популярные инструменты и их особенности. 💻

Microsoft Excel предлагает несколько функций для расчета стандартного отклонения:

• СТАНДОТКЛОН.В или STDEV – для выборки (знаменатель n-1)
• СТАНДОТКЛОН.Г или STDEVP – для генеральной совокупности (знаменатель n)
• СТАНДОТКЛОН.ВЫБОРС или STDEVA – для выборки, учитывает текстовые и логические значения
• СТАНДОТКЛОН.ГЕНЕРАЛЬ или STDEVPA – для генеральной совокупности, учитывает текстовые и логические значения

Пример использования в Excel:

=СТАНДОТКЛОН.В(A1:A20) // для ячеек A1-A20, расчет для выборки

Python предлагает несколько способов расчета с помощью различных библиотек:

# С использованием NumPy
import numpy as np
data = [12, 15, 18, 10, 20]
# Для выборки
std_sample = np.std(data, ddof=1) # ddof=1 для деления на (n-1)
# Для генеральной совокупности
std_population = np.std(data, ddof=0)

# С использованием statistics (стандартная библиотека с Python 3.4+)
import statistics
std_sample = statistics.stdev(data) # для выборки
std_population = statistics.pstdev(data) # для генеральной совокупности

R предоставляет простую функцию sd(), которая по умолчанию рассчитывает стандартное отклонение выборки:

data <- c(12, 15, 18, 10, 20)
# Стандартное отклонение выборки
sd(data)
# Стандартное отклонение генеральной совокупности
sd(data) * sqrt((length(data)-1)/length(data))

SPSS предлагает расчет через меню Analyze → Descriptive Statistics → Descriptives и выбор опции Standard deviation в поле Options.

Google Sheets имеет те же функции, что и Excel:

=STDEV(A1:A20) // для выборки
=STDEVP(A1:A20) // для генеральной совокупности

Какой инструмент выбрать? Всё зависит от ваших потребностей:

• Для простых расчетов и небольших наборов данных – Excel или Google Sheets
• Для автоматизации и работы с большими наборами данных – Python или R
• Для сложного статистического анализа – R или SPSS

Не уверены, в какой профессии ваши аналитические способности найдут лучшее применение? Пройдите Тест на профориентацию от Skypro и выясните, подходит ли вам роль аналитика данных, бизнес-аналитика или исследователя. Тест учитывает ваши склонности к работе с числами и статистикой, определяя идеальную карьерную траекторию. Результаты покажут, где ваша любовь к точным расчетам, включая метрики вроде стандартного отклонения, принесет максимальную пользу и удовлетворение!

Практическое применение стандартного отклонения в анализе

Стандартное отклонение – не просто абстрактная статистическая величина, а мощный инструмент для принятия решений в различных сферах. Рассмотрим конкретные примеры его применения на практике. 🔍

Финансы и инвестиции

В финансовом анализе стандартное отклонение часто используется как мера волатильности или риска:

• Оценка риска инвестиций: большее стандартное отклонение доходности актива указывает на его высокую волатильность и потенциально больший риск
• Создание диверсифицированных портфелей: комбинирование активов с низкой корреляцией может снизить общее стандартное отклонение портфеля
• Анализ Value-at-Risk (VaR): прогнозирование максимально возможных потерь с использованием стандартного отклонения

Контроль качества

В производстве стандартное отклонение – ключевой параметр для контроля качества:

• Определение допустимых отклонений в размерах деталей
• Выявление проблем с производственным оборудованием по изменению разброса параметров продукции
• Оценка стабильности процесса с помощью контрольных карт Шухарта (правило "три сигмы")

Медицина и биология

• Определение референсных значений лабораторных анализов
• Анализ эффективности лекарственных препаратов
• Выявление аномалий в физиологических показателях

Маркетинг и бизнес-аналитика

• Сегментация клиентов по стабильности покупок
• Анализ сезонности продаж
• Расчет доверительных интервалов для прогнозов

Одно из самых известных применений стандартного отклонения – правило "трех сигм", согласно которому в нормальном распределении:

• ~68% всех значений находятся в пределах ±1σ от среднего
• ~95% всех значений находятся в пределах ±2σ от среднего
• ~99.7% всех значений находятся в пределах ±3σ от среднего

Это правило позволяет быстро оценить, является ли наблюдаемое значение аномальным или находится в пределах нормы. Например, если рост продаж в три раза превышает стандартное отклонение от среднего, это с высокой вероятностью указывает на необычное явление, требующее внимания.

Важно помнить, что стандартное отклонение особенно информативно при нормальном или близком к нормальному распределении данных. Для сильно асимметричных распределений или распределений с тяжелыми хвостами могут потребоваться дополнительные статистические меры.

Стандартное отклонение – это компас в море данных, который помогает определить, насколько надежен маршрут по среднему значению. Оно превращает расплывчатое представление о разбросе данных в конкретное число, позволяющее принимать взвешенные решения. Научившись рассчитывать и интерпретировать стандартное отклонение, вы сможете лучше понимать неопределенность, оценивать риски и обнаруживать аномалии, в каком бы поле вы ни работали. Это универсальный инструмент, столь же необходимый аналитику, как молоток плотнику – простой, но незаменимый.