Однородные координаты в 3D графике

Введение в однородные координаты

Однородные координаты — это мощный инструмент, используемый в компьютерной графике для представления и преобразования точек в 3D пространстве. Они позволяют упростить многие математические операции, такие как трансформации, и делают возможным использование матриц для выполнения сложных преобразований. В этой статье мы рассмотрим, что такое однородные координаты, зачем они нужны и как их использовать на практике.

Однородные координаты позволяют объединить различные типы преобразований, такие как трансляция, масштабирование и вращение, в единый математический аппарат. Это значительно упрощает их реализацию и применение в компьютерной графике. Кроме того, однородные координаты облегчают работу с перспективными проекциями, что делает их незаменимыми в рендеринге и создании реалистичных 3D сцен.

Зачем нужны однородные координаты в 3D графике

В 3D графике часто требуется выполнять различные преобразования, такие как трансляция, масштабирование и вращение. Однородные координаты позволяют объединить эти преобразования в единый математический аппарат, что значительно упрощает их реализацию и применение. Однородные координаты также позволяют легко работать с перспективными проекциями, что делает их незаменимыми в рендеринге и компьютерной графике.

Преимущества использования однородных координат:

• Унификация преобразований: Все преобразования можно представить в виде матриц, что упрощает их комбинирование и применение.
• Сокращение вычислений: Меньше операций требуется для выполнения сложных преобразований.
• Поддержка перспективных проекций: Легко работать с перспективными и ортографическими проекциями.
• Упрощение математических операций: Однородные координаты позволяют свести сложные математические операции к простым матричным умножениям.
• Гибкость и универсальность: Однородные координаты могут использоваться для различных типов преобразований, включая нелинейные и аффинные преобразования.

Математическое представление однородных координат

В обычной декартовой системе координат точка в 3D пространстве представляется как ((x, y, z)). В однородных координатах эта точка представляется как ((x, y, z, w)), где (w) — дополнительная координата, называемая весом.

Преобразование декартовых координат в однородные

Чтобы преобразовать точку ((x, y, z)) в однородные координаты, добавляется четвертая координата (w):

[ (x, y, z) \rightarrow (x, y, z, 1) ]

Обратное преобразование

Чтобы преобразовать точку из однородных координат обратно в декартовые, делим каждую координату на (w):

[ (x, y, z, w) \rightarrow \left(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w}\right) ]

Пример

Если точка в однородных координатах представлена как ((4, 8, 12, 2)), то в декартовых координатах она будет:

[ \left(\frac{4}{2}, \frac{8}{2}, \frac{12}{2}\right) = (2, 4, 6) ]

Дополнительные примеры

Рассмотрим еще один пример. Если точка в однородных координатах представлена как ((6, 9, 15, 3)), то в декартовых координатах она будет:

[ \left(\frac{6}{3}, \frac{9}{3}, \frac{15}{3}\right) = (2, 3, 5) ]

Таким образом, однородные координаты позволяют легко переходить между различными системами координат и выполнять сложные преобразования.

Преобразования с использованием однородных координат

Однородные координаты позволяют легко выполнять различные преобразования с помощью матриц. Рассмотрим основные типы преобразований.

Трансляция

Трансляция — это перемещение точки на заданное расстояние вдоль осей (x), (y) и (z). Матрица трансляции имеет следующий вид:

[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & tx \ 0 & 1 & 0 & ty \ 0 & 0 & 1 & tz \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

Где (tx), (ty) и (tz) — смещения вдоль соответствующих осей.

Масштабирование

Масштабирование изменяет размер объекта вдоль осей (x), (y) и (z). Матрица масштабирования выглядит так:

[ \begin{bmatrix} sx & 0 & 0 & 0 \ 0 & sy & 0 & 0 \ 0 & 0 & sz & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

Где (sx), (sy) и (sz) — коэффициенты масштабирования вдоль соответствующих осей.

Вращение

Вращение вокруг осей (x), (y) и (z) можно представить с помощью следующих матриц:

• Вращение вокруг оси (x):

[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

• Вращение вокруг оси (y):

[ \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

• Вращение вокруг оси (z):

[ \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 & 0 \ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

Дополнительные преобразования

Однородные координаты также позволяют выполнять более сложные преобразования, такие как сдвиги, отражения и проекции. Например, матрица отражения относительно плоскости (xy) будет выглядеть так:

[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

Практические примеры и применение

Пример 1: Трансляция точки

Допустим, у нас есть точка ((1, 2, 3)) и мы хотим переместить её на ( (4, 5, 6) ). В однородных координатах точка будет ((1, 2, 3, 1)), а матрица трансляции:

[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \ 0 & 1 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

После умножения матрицы на вектор точки получаем новую точку:

[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 \ 0 & 1 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 1 & 6 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \ 7 \ 9 \ 1 \end{bmatrix} ]

Пример 2: Масштабирование объекта

Предположим, у нас есть объект, который нужно увеличить в 2 раза по всем осям. Матрица масштабирования будет:

[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

Если исходная точка объекта ((1, 1, 1, 1)), то после масштабирования она станет:

[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 2 \ 2 \ 1 \end{bmatrix} ]

Пример 3: Вращение точки

Рассмотрим вращение точки ((1, 0, 0)) вокруг оси (z) на угол (90^\circ). Матрица вращения будет:

[ \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

После умножения матрицы на вектор точки получаем новую точку:

[ \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix} ]

Пример 4: Сложное преобразование

Рассмотрим пример, когда нужно выполнить несколько преобразований последовательно. Допустим, у нас есть точка ((1, 1, 1)), которую нужно сначала переместить на ((2, 3, 4)), затем увеличить в 2 раза и, наконец, повернуть вокруг оси (z) на (45^\circ).

1. Матрица трансляции:

[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 0 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 4 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

2. Матрица масштабирования:

[ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

3. Матрица вращения:

[ \begin{bmatrix} \cos(45^\circ) & -\sin(45^\circ) & 0 & 0 \ \sin(45^\circ) & \cos(45^\circ) & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]

После выполнения всех этих преобразований последовательно, мы получим новую точку, которая будет результатом всех этих операций.

Однородные координаты являются важным инструментом в арсенале любого разработчика, работающего с 3D графикой. Они позволяют легко и эффективно выполнять сложные преобразования, что делает их незаменимыми в создании реалистичных и динамичных графических сцен.