Методы обработки рядов динамики: основные подходы и принципы

Для кого эта статья:

• специалисты в области аналитики и обработки данных
• студенты и начинающие аналитики, интересующиеся временными рядами
• профессионалы, занимающиеся прогнозированием и бизнес-анализом

Представьте, что вы смотрите на график биржевых котировок и пытаетесь понять, куда движется рынок... Хаотичные колебания сбивают с толку, но под этим шумом скрываются закономерности. Методы обработки рядов динамики позволяют расшифровать этот язык цифр, извлекая из временных данных ценные инсайты. Независимо от того, прогнозируете ли вы продажи компании, анализируете макроэкономические показатели или разрабатываете торговые алгоритмы — владение инструментарием анализа временных рядов даёт существенное преимущество в информационном океане. 📊 Готовы освоить эти инструменты?

Хотите быстро освоить профессиональные методы работы с временными рядами и другими видами данных? Курс «Аналитик данных» с нуля от Skypro даст вам не только теоретические знания, но и практические навыки обработки динамических рядов. Преподаватели-практики помогут разобраться с методологией анализа трендов, сезонности и циклических колебаний. Всего за 9 месяцев вы научитесь извлекать ценные инсайты из временных рядов и принимать обоснованные решения на основе данных!

Суть методов обработки рядов динамики

Временные ряды представляют собой упорядоченную во времени последовательность значений изучаемого показателя. Каждая запись содержит информацию о моменте или периоде времени и соответствующем значении. Работа с такими данными принципиально отличается от классического статистического анализа, поскольку учитывает взаимосвязь соседних наблюдений и их хронологический порядок.

Обработка рядов динамики направлена на решение следующих основных задач:

• Описание основных характеристик временного ряда
• Выделение и анализ структурных компонентов (тренд, сезонность, циклы)
• Устранение шума и случайных колебаний
• Прогнозирование будущих значений
• Выявление причинно-следственных связей между различными рядами

Структура временного ряда обычно включает следующие составляющие:

В зависимости от взаимодействия компонентов временные ряды могут быть описаны аддитивной или мультипликативной моделью:

Аддитивная модель: Y = T + S + C + R
Мультипликативная модель: Y = T × S × C × R

где Y — исходный ряд, T — тренд, S — сезонность, C — цикличность, R — случайная компонента.

Выбор подходящей модели зависит от характера данных. Аддитивная модель применяется, когда амплитуда сезонных колебаний примерно постоянна. Мультипликативная — когда амплитуда колебаний пропорциональна уровню ряда.

Алексей Петров, аналитик-исследователь

Столкнувшись с задачей анализа продаж фармацевтической компании, я обнаружил, что график напоминает запутанный клубок. Продажи противопростудных препаратов взлетали зимой и падали летом, а антигистаминные наоборот — пиковые значения приходились на весну. При этом на всё накладывался общий растущий тренд и еженедельная цикличность.

Первым шагом я декомпозировал временной ряд. Выделение тренда позволило увидеть, что компания растёт на 12% в год. После удаления тренда и сезонности проявилась интересная аномалия — необъяснимый скачок продаж в середине месяца. Дополнительное расследование выявило, что это связано с графиком поставок в крупные аптечные сети.

Без разложения временного ряда на компоненты мы бы никогда не увидели этот паттерн среди шума других факторов. После корректировки логистических процессов удалось сгладить эту неоптимальность и сократить складские расходы на 8%.

Сглаживание и выравнивание временных рядов

Сглаживание временных рядов направлено на устранение случайных колебаний и выделение основных закономерностей. Эти методы особенно важны на начальном этапе анализа, когда необходимо очистить данные от "шума" для более точного определения структурных компонент. 🧹

Основные методы сглаживания включают:

• Простое скользящее среднее — замена каждого значения ряда средним арифметическим соседних значений в пределах выбранного окна
• Взвешенное скользящее среднее — модификация предыдущего метода, где разным наблюдениям присваиваются различные веса
• Экспоненциальное сглаживание — метод, придающий больший вес недавним наблюдениям с экспоненциальным убыванием весов для более старых данных
• Медианная фильтрация — замена значения на медиану в пределах скользящего окна, эффективна для устранения выбросов
• Сглаживание локальными полиномами — аппроксимация данных полиномами в локальных окрестностях

Рассмотрим подробнее механизм скользящего среднего. Формула для расчета простого скользящего среднего с окном шириной (2m+1):

y̅t = (yt-m + ... + yt-1 + yt + yt+1 + ... + yt+m) / (2m+1)

При работе с чётным окном сглаживания (например, 4 точки) возникает проблема смещения значений относительно временной шкалы. В takich случаях применяют центрированное скользящее среднее:

y̅t = (0.5·yt-m + yt-m+1 + ... + yt + ... + yt+m-1 + 0.5·yt+m) / (2m)

Выбор ширины окна сглаживания — ключевой момент. Слишком узкое окно недостаточно устраняет шум, а слишком широкое может искажать важные особенности ряда.

Для экспоненциального сглаживания приведём формулу:

St = α·yt + (1-α)·St-1

где St — сглаженное значение, yt — текущее наблюдение, St-1 — предыдущее сглаженное значение, α — параметр сглаживания (0 < α < 1).

Сравнительная характеристика методов сглаживания:

Для выравнивания временных рядов используются аналитические методы, основанные на подборе функциональных зависимостей. Основные типы трендовых моделей:

• Линейная: yt = a + bt
• Экспоненциальная: yt = a·eᵇᵗ
• Логарифмическая: yt = a + b·ln(t)
• Степенная: yt = a·tᵇ
• Полиномиальная: yt = a₀ + a₁t + a₂t² + ... + aₙtⁿ
• Логистическая: yt = K/(1 + a·e⁻ᵇᵗ)

В большинстве статистических пакетов (R, Python, SPSS, Excel) реализованы функции для сглаживания и выравнивания рядов, что упрощает применение этих методов в практической аналитике. Современные подходы часто сочетают различные методы сглаживания для получения оптимальных результатов.

Аналитические методы выявления тренда

После предварительной очистки ряда от шума следующим логическим шагом является выявление и количественная оценка тренда. Тренд отражает долговременную тенденцию изменения изучаемого показателя и обычно описывается с помощью математических функций. 📈

Основные аналитические подходы к выделению тренда:

• Метод наименьших квадратов (МНК)
• Метод экспоненциального сглаживания Холта
• Метод наименьших модулей (более устойчив к выбросам)
• Фильтр Ходрика-Прескотта
• Декомпозиция временного ряда (STL, X-12-ARIMA)

Метод наименьших квадратов является наиболее популярным подходом для определения параметров трендовой модели. Суть метода заключается в минимизации суммы квадратов отклонений между фактическими значениями ряда и значениями, рассчитанными по модели:

min Σ(yt – ŷt)²

где yt — фактические значения, ŷt — значения, рассчитанные по модели.

Для линейной модели тренда ŷt = a + bt параметры a и b определяются по формулам:

b = (n·Σtyt – Σt·Σyt) / (n·Σt² – (Σt)²)
a = (Σyt – b·Σt) / n

где n — число наблюдений.

Метод Холта использует двойное экспоненциальное сглаживание для выделения тренда:

Lt = α·yt + (1-α)·(Lt-1 + Tt-1)
Tt = β·(Lt – Lt-1) + (1-β)·Tt-1
ŷt+h = Lt + h·Tt

где Lt — сглаженный уровень ряда, Tt — сглаженный тренд, α и β — параметры сглаживания (0 < α,β < 1), ŷt+h — прогноз на h периодов вперед.

При выборе функциональной формы тренда важно оценивать качество подгонки модели. Основные показатели качества:

• Коэффициент детерминации (R²)
• Средняя абсолютная ошибка (MAE)
• Среднеквадратическая ошибка (RMSE)
• Информационные критерии Акаике (AIC) и Байеса (BIC)
• Анализ остатков (независимость, нормальность, гомоскедастичность)

Для визуального определения типа тренда полезен анализ автокорреляционной и частной автокорреляционной функций (АКФ и ЧАКФ). Например, для ряда с линейным трендом АКФ будет медленно убывать, не стремясь к нулю.

Елена Соколова, руководитель отдела бизнес-аналитики

Когда я пришла в розничную сеть, аналитический департамент боролся с проблемой прогнозирования спроса на скоропортящуюся продукцию. Использование простого среднего за прошлые периоды давало постоянные ошибки — то излишки, то дефицит.

Анализ исторических данных показал, что ряды обладают как трендовой, так и сезонной составляющей, плюс нерегулярные всплески во время промоакций. Мы начали с правильной идентификации тренда, применив метод Холта-Винтерса, который показал нетривиальные результаты — для разных категорий товаров тренды имели разную природу.

Молочная продукция демонстрировала линейный рост, кондитерские изделия — логарифмический, а готовые салаты и сэндвичи — экспоненциальный рост! Исторически аналитики применяли одну модель ко всему ассортименту, что и приводило к систематическим ошибкам.

Настроив параметры моделей отдельно для каждой категории товаров и добавив сезонную составляющую, мы сократили процент списаний на 23% и одновременно уменьшили случаи отсутствия товара на полке на 17%. ROI от внедрения правильной методологии идентификации трендов составил более 400% в первый же квартал.

Фильтр Ходрика-Прескотта — это метод сглаживания, который выделяет трендовую составляющую путем минимизации:

min {Σ(yt – τt)² + λ·Σ[(τt+1 – τt) – (τt – τt-1)]²}

где τt — трендовая составляющая, λ — параметр сглаживания.

При работе со сложными временными рядами часто используется комплексный подход декомпозиции, где тренд выделяется как одна из компонент модели. Наиболее популярны методы:

• STL (Seasonal-Trend decomposition using LOESS) — процедура, разложения временного ряда на сезонную, трендовую и остаточную составляющие с использованием локально взвешенной регрессии
• X-12-ARIMA — метод, разработанный Бюро переписи населения США, сочетающий регрессионные предварительные корректировки, итеративную оценку трендовой и сезонной компонент

При выборе метода выявления тренда необходимо учитывать специфику анализируемых данных, вычислительные ресурсы и требуемую точность. В современной аналитике обычно тестируют несколько подходов, выбирая оптимальный по критериям точности и интерпретируемости.

Статистические методы анализа сезонности

Сезонность — это регулярно повторяющиеся колебания, связанные с изменениями времен года, месяцев, дней недели или даже часов суток. Выявление и аналитическая оценка сезонной компоненты позволяют лучше понимать структуру временного ряда и повышать точность прогнозов. 🍂🌞❄️🌷

Основные методы выявления и измерения сезонности:

• Метод сезонных индексов
• Гармонический анализ (разложение в ряд Фурье)
• Сезонная декомпозиция (X-12-ARIMA, STL)
• Регрессия с сезонными фиктивными переменными
• Метод Census II (различные модификации)

Метод сезонных индексов является простым и интуитивно понятным подходом для выделения сезонного паттерна. Для аддитивной модели процесс выглядит так:

1. Удаление тренда из исходного ряда (например, методом скользящей средней)
2. Группировка детрендированных данных по сезонным периодам
3. Вычисление среднего значения для каждого сезонного периода
4. Нормализация индексов (для аддитивной модели сумма должна быть равна нулю)

Для мультипликативной модели сезонные индексы представляют собой отношение фактического значения к сглаженному, усредненное по каждому сезону. Нормализация в этом случае предполагает среднее значение индексов, равное 1.

Полученные сезонные индексы могут быть использованы для сезонной корректировки данных или включены в прогностические модели. Сезонно скорректированный ряд для аддитивной модели:

yt(adj) = yt – St

Для мультипликативной модели:

yt(adj) = yt / St

где St — сезонная компонента для соответствующего периода.

Гармонический анализ основан на представлении сезонной компоненты в виде суммы синусоид с различными частотами. Для временного ряда с периодом s (например, s=12 для месячных данных с годовой сезонностью) модель будет иметь вид:

St = Σ[aj·cos(2πjt/s) + bj·sin(2πjt/s)]

где j изменяется от 1 до [s/2], aj и bj — коэффициенты, определяемые методом наименьших квадратов.

Преимуществом гармонического анализа является возможность выделения нескольких сезонных паттернов с разными периодами (например, недельной и годовой сезонности в ежедневных данных).

Сравнение различных методов анализа сезонности:

Регрессия с сезонными фиктивными переменными — популярный метод для одновременного моделирования тренда и сезонности:

yt = β0 + β1·t + β2·D2t + β3·D3t + ... + βs·Dst + εt

где Djt — фиктивные переменные для сезонов (принимают значения 0 или 1), t — временной тренд.

Существует целый ряд статистических тестов для проверки наличия сезонности:

• Тест Фишера на наличие сезонных гармоник
• Тест Краскела-Уоллиса для непараметрического анализа
• QS-статистика в X-12-ARIMA
• Тест Фридмана на различие между сезонами

Для корректной идентификации сезонности важно иметь достаточно длинный ряд наблюдений (минимум два полных сезонных цикла) и учитывать возможные изменения сезонного паттерна со временем. В современной практике все чаще используются динамические модели с изменяющейся сезонностью, учитывающие эволюцию сезонного паттерна.

Тест на профориентацию от Skypro поможет определить, подходит ли вам карьера аналитика данных. Если вас увлекает работа с временными рядами и математическими моделями, но вы не уверены, готовы ли погрузиться в эту сферу профессионально — пройдите бесплатную диагностику. За 5 минут вы получите персонализированную оценку ваших склонностей к аналитической работе и рекомендации по развитию необходимых навыков для успешного старта в сфере обработки и анализа данных.

Современные подходы к прогнозированию динамики

Прогнозирование временных рядов — одна из ключевых целей анализа динамики. Современные методы существенно расширили инструментарий прогнозирования, объединяя классические статистические подходы с машинным обучением и глубокими нейросетями. 🔮

Основные группы методов прогнозирования:

• Авторегрессионные и интегрированные модели (ARIMA, SARIMA, ARIMAX)
• Экспоненциальное сглаживание (ETS-модели)
• Модели пространства состояний (структурные модели временных рядов)
• Методы машинного обучения (Random Forest, Gradient Boosting)
• Глубокие нейросети (LSTM, GRU, трансформеры)
• Гибридные и ансамблевые модели

Модели ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) являются классическим подходом к прогнозированию временных рядов. Модель ARIMA(p,d,q) включает:

• p — порядок авторегрессии (AR-компонента)
• d — порядок интегрирования (необходимый для приведения ряда к стационарному виду)
• q — порядок скользящего среднего (MA-компонента)

Математически, модель ARIMA(p,d,q) может быть записана как:

(1 – Σφᵢ·Lⁱ)(1 – L)ᵈ·yt = (1 + Σθⱼ·Lʲ)·εt

где L — оператор лага, φᵢ — параметры AR-компоненты, θⱼ — параметры MA-компоненты, εt — белый шум.

При наличии сезонности используется расширение SARIMA (Seasonal ARIMA), добавляющее сезонные параметры (P,D,Q)s:

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s

Идентификация параметров ARIMA-моделей традиционно проводится с помощью анализа автокорреляционной и частной автокорреляционной функций, однако современные подходы часто используют автоматический выбор по информационному критерию (AIC, BIC).

Модели экспоненциального сглаживания (ETS — Error, Trend, Seasonal) представляют собой семейство методов, варьирующихся по типу ошибки (аддитивная или мультипликативная), тренда (отсутствие, аддитивный, мультипликативный, затухающий) и сезонности (отсутствие, аддитивная, мультипликативная).

Сравнение производительности различных методов прогнозирования:

Prophet — разработанный Facebook (теперь Meta) алгоритм прогнозирования, сочетающий декомпозиционный подход с гибкими моделями тренда и сезонности. Он особенно эффективен для бизнес-временных рядов с сильной сезонностью и праздничными эффектами.

Модель Prophet представляет временной ряд в виде:

y(t) = g(t) + s(t) + h(t) + εt

где g(t) — трендовая компонента, s(t) — сезонная компонента, h(t) — праздничные эффекты, εt — ошибка.

Модели на основе глубоких нейронных сетей (особенно LSTM — Long Short-Term Memory) показывают впечатляющие результаты при прогнозировании сложных нелинейных временных рядов. Ключевые преимущества нейросетей:

• Способность автоматически выявлять сложные паттерны
• Возможность работы с многомерными временными рядами
• Эффективное моделирование нелинейной динамики
• Возможность использования экзогенных переменных

Трансформеры (на основе архитектуры Attention) — последнее достижение в области глубокого обучения для временных рядов, превосходящее LSTM по ряду задач благодаря способности эффективно моделировать дальние зависимости.

На практике все чаще используются гибридные и ансамблевые подходы, сочетающие различные модели и методы. Например:

• TBATS — модель, объединяющая экспоненциальное сглаживание с разложением в ряд Фурье и Box-Cox трансформацией
• N-BEATS — нейросетевая архитектура с блоками, специализирующимися на моделировании тренда и сезонности
• AutoML-подходы, автоматически выбирающие и настраивающие оптимальные модели (например, AutoARIMA)

Для оценки точности прогнозов используются различные метрики:

• MAE (Mean Absolute Error) — средняя абсолютная ошибка
• RMSE (Root Mean Square Error) — корень из средней квадратичной ошибки
• MAPE (Mean Absolute Percentage Error) — средняя абсолютная ошибка в процентах
• SMAPE (Symmetric MAPE) — симметричная версия MAPE
• MASE (Mean Absolute Scaled Error) — масштабированная средняя абсолютная ошибка

При выборе метрики важно учитывать особенности задачи и данных. Например, MAPE неэффективен для рядов, содержащих нулевые или близкие к нулю значения.

Современная практика прогнозирования также делает акцент на вероятностные прогнозы, предоставляющие не только точечные оценки, но и доверительные интервалы или полные распределения прогнозируемых значений, что позволяет лучше оценивать риски и неопределенность.

Мастерское владение методами обработки рядов динамики — это ключ к превращению хаотичных временных данных в ценные инсайты и точные прогнозы. От классических методов сглаживания до инновационных нейросетевых архитектур, современный аналитик обладает мощным инструментарием для выявления скрытых закономерностей во временных рядах. Независимо от сложности ваших данных, комбинация подходящих методов, глубокого понимания их математических основ и практического опыта позволит извлечь максимум информации из ваших временных рядов и принимать обоснованные решения в условиях неопределенности.