Что такое Q1 и Q3 в статистике: значение квартилей и их расчет

Для кого эта статья:

• специалистам и студентам в области анализа данных и статистики
• людям, интересующимся карьерой в аналитике и статистике
• профессионалам, использующим статистические методы в своих областях, таких как финансы, бизнес и медицина

Столкнулись с графиком "ящик с усами" и теряетесь в квартилях? Или, возможно, анализируете набор данных и нужно определить, где находится середина нижней и верхней половины выборки? Q1 и Q3 — это не просто обозначения на графике, а мощные инструменты статистического анализа, способные рассказать о распределении данных больше, чем среднее значение. Квартили позволяют видеть структуру данных, выявлять выбросы и принимать обоснованные решения в условиях неопределенности. 📊

Хотите уверенно оперировать статистическими показателями и строить карьеру в аналитике? Курс «Аналитик данных» с нуля от Skypro — это полное погружение в мир анализа данных, где вы не только освоите теорию квартилей, но и научитесь применять их для решения реальных бизнес-задач. За 9 месяцев вы пройдете путь от новичка до профессионала, способного извлекать ценные инсайты из массивов информации и визуализировать их наиболее эффективным способом.

Определение Q1 и Q3: роль квартилей в статистике

Квартили — это значения, которые делят упорядоченный набор данных на четыре равные части. Q1 (первый квартиль) отделяет нижние 25% данных от верхних 75%, а Q3 (третий квартиль) отделяет нижние 75% от верхних 25%. Второй квартиль (Q2) — это медиана, разделяющая данные ровно пополам.

Представьте, что у вас есть 100 студентов, выстроенных по росту. Q1 будет ростом 25-го студента, Q2 (медиана) — ростом 50-го, а Q3 — ростом 75-го студента. Эти три точки создают скелет распределения данных.

Квартили Q1 и Q3 играют ключевую роль в статистике по следующим причинам:

• Устойчивость к выбросам — в отличие от среднего значения, квартили не так подвержены влиянию экстремальных значений
• Оценка распределения — помогают понять, как распределены данные вокруг центральной точки
• Определение межквартильного размаха (IQR) — разница между Q3 и Q1 показывает разброс центральных 50% данных
• Выявление выбросов — значения, выходящие за пределы 1.5×IQR от Q1 и Q3, часто считаются выбросами

Важно понимать, что квартили — это непросто теоретические конструкции. Они дают представление о форме распределения данных: если расстояние от Q1 до медианы больше, чем от медианы до Q3, распределение имеет левостороннюю асимметрию, и наоборот.

Сергей Петров, старший аналитик данных

В начале карьеры я анализировал продажи региональной сети магазинов электроники. Руководство было уверено, что средний чек — лучший показатель успешности. Но когда я построил диаграмму размаха с использованием Q1 и Q3, открылась совершенно иная картина. Оказалось, что у двух магазинов с почти одинаковым средним чеком распределение продаж было кардинально разным. В первом Q1 и Q3 были близки к медиане (большинство продаж в среднем ценовом сегменте), а во втором межквартильный размах был огромен — магазин зарабатывал на единичных крупных продажах и множестве мелких. Это полностью изменило стратегию закупок и маркетинга для каждого магазина.

Математическое значение квартилей в анализе данных

С математической точки зрения квартили Q1 и Q3 — это особые процентили, соответствующие 25-му и 75-му процентилям распределения. Процентиль p — это значение, ниже которого находится p% данных в упорядоченной выборке.

Формально, если у нас есть выборка X = {x₁, x₂, ..., xₙ}, упорядоченная по возрастанию, то:

Q1 = X[⌈n/4⌉] // округление вверх
Q3 = X[⌈3n/4⌉] // округление вверх

Однако существуют различные методы расчёта (о которых поговорим подробнее в следующем разделе), и приведённые формулы — лишь один из возможных подходов.

Межквартильный размах (IQR) рассчитывается как:

IQR = Q3 – Q1

Квартили и IQR позволяют построить более полную картину распределения данных, чем просто среднее и стандартное отклонение. Вот основные математические свойства квартилей:

• Устойчивость — квартили имеют точку разрыва 25%, что означает, что до 25% данных могут быть искажены, прежде чем квартили дадут произвольно большую ошибку
• Непараметричность — для расчёта квартилей не требуется предположений о характере распределения данных
• Монотонность — если все значения в выборке увеличить на константу или умножить на положительное число, квартили трансформируются аналогичным образом

Квартили особенно ценны при работе с несимметричными распределениями. Например, распределение доходов населения обычно имеет правостороннюю асимметрию, и среднее значение может быть значительно выше медианы из-за влияния высоких доходов небольшой группы людей. В этом случае Q1 и Q3 дают более репрезентативную картину финансового положения населения. 💰

Методы расчета Q1 и Q3 для разных типов выборок

Существует несколько методов расчёта квартилей, и разные статистические пакеты и программы могут использовать различные алгоритмы, что иногда приводит к неодинаковым результатам для одних и тех же данных. Разберём основные методы расчёта Q1 и Q3.

Метод 1: Включение медианы

1. Упорядочите данные по возрастанию
2. Найдите медиану выборки
3. Q1 — это медиана нижней половины данных (включая медиану, если количество элементов нечётное)
4. Q3 — это медиана верхней половины данных (включая медиану, если количество элементов нечётное)

Метод 2: Исключение медианы

1. Упорядочите данные по возрастанию
2. Найдите медиану выборки
3. Q1 — это медиана нижней половины данных (исключая медиану)
4. Q3 — это медиана верхней половины данных (исключая медиану)

Метод 3: Метод линейной интерполяции

Для выборки размером n и позиции p-го процентиля (где p = 25 для Q1 и p = 75 для Q3):

позиция = (n – 1) * p/100 + 1

Если позиция целое число k:
Qₚ = X[k]

Если позиция дробное число k + d (где 0 < d < 1):
Qₚ = X[k] + d * (X[k+1] – X[k])

Пример расчёта квартилей: Рассмотрим выборку: {3, 7, 8, 12, 15, 18, 21, 24, 29}

• Медиана (Q2) = 15 (5-й элемент)
• Метод 1:
• Нижняя половина с медианой: {3, 7, 8, 12, 15}
• Верхняя половина с медианой: {15, 18, 21, 24, 29}
• Q1 = 7.5 (медиана нижней половины)
• Q3 = 21 (медиана верхней половины)
• Метод 2:
• Нижняя половина без медианы: {3, 7, 8, 12}
• Верхняя половина без медианы: {18, 21, 24, 29}
• Q1 = 7.5 (медиана нижней половины)
• Q3 = 22.5 (медиана верхней половины)
• Метод 3 (линейная интерполяция):
• Позиция Q1 = (9-1) * 25/100 + 1 = 3
• Q1 = X[3] = 8
• Позиция Q3 = (9-1) * 75/100 + 1 = 7
• Q3 = X[7] = 24

Елена Соколова, преподаватель статистики

На моём курсе статистики студенты всегда путались в методах расчёта квартилей. Однажды я разделила группу на три команды, каждая из которых должна была рассчитать Q1 и Q3 для одного набора данных о ценах на недвижимость, используя разные методы. Результаты отличались на 15-20%. Когда мы визуализировали эти значения на диаграммах размаха, стало очевидно, как выбор метода может влиять на интерпретацию данных — одна и та же выборка выглядела то симметричной, то асимметричной. Это стало переломным моментом в понимании важности согласованного метода расчёта квартилей при сравнительном анализе. Теперь я всегда начинаю с вопроса: "А какой метод расчёта квартилей вы используете?"

При выборе метода расчёта квартилей важно учитывать:

• Размер выборки — для маленьких выборок разница между методами может быть существенной
• Стандарты в вашей области — в некоторых дисциплинах есть общепринятые методы
• Используемое программное обеспечение — Python, R, Excel и SPSS используют разные методы по умолчанию

Для обеспечения воспроизводимости результатов всегда указывайте, какой метод расчёта квартилей вы использовали. 🔍

Не уверены, подходит ли вам карьера в анализе данных? Пройдите бесплатный Тест на профориентацию от Skypro и откройте для себя свои сильные стороны. Этот тест поможет определить, насколько работа со статистическими данными, включая расчёт и интерпретацию таких показателей как Q1 и Q3, соответствует вашим природным наклонностям и способностям. Результаты теста подскажут оптимальный карьерный путь, учитывая ваше аналитическое мышление и склонность к работе с числами.

Применение Q1 и Q3 в построении диаграмм размаха

Диаграмма размаха (box plot) или "ящик с усами" — один из самых эффективных способов визуализации распределения данных, где квартили Q1 и Q3 играют центральную роль. Эта диаграмма, предложенная Джоном Тьюки в 1970-х, стала незаменимым инструментом в статистическом анализе.

Стандартная диаграмма размаха состоит из следующих элементов:

• "Ящик" — прямоугольник, ограниченный Q1 снизу и Q3 сверху, показывающий межквартильный размах (IQR), включающий 50% данных
• Линия внутри ящика — медиана (Q2), показывающая центр распределения
• "Усы" — линии, идущие от ящика до минимального и максимального значений, не являющихся выбросами
• Выбросы — точки за пределами "усов", обычно определяемые как значения, отстоящие от Q1 более чем на 1.5×IQR влево или от Q3 более чем на 1.5×IQR вправо

Математически границы усов определяются как:

Нижняя граница = Q1 – 1.5 × IQR
Верхняя граница = Q3 + 1.5 × IQR

Диаграммы размаха позволяют мгновенно оценить ряд важных характеристик распределения:

1. Центр распределения — по положению медианы внутри ящика
2. Разброс данных — по высоте ящика (IQR) и длине усов
3. Асимметрию — по положению медианы относительно границ ящика
4. Выбросы — по точкам за пределами усов
5. Сравнение групп — путём размещения нескольких ящиков рядом

Интерпретация формы диаграммы размаха:

• Если медиана расположена примерно посередине ящика, а усы примерно равной длины — распределение близко к симметричному
• Если медиана смещена к нижней границе ящика, а верхний ус длиннее — распределение имеет правостороннюю асимметрию
• Если медиана смещена к верхней границе ящика, а нижний ус длиннее — распределение имеет левостороннюю асимметрию
• Короткие усы и большой ящик указывают на высокую концентрацию данных в центральной части распределения

Современные варианты диаграммы размаха иногда включают дополнительные элементы:

• Скрипичные диаграммы (violin plots) — добавляют оценку плотности распределения по бокам ящика
• Диаграммы размаха с зарубками (notched box plots) — добавляют "зарубки" вокруг медианы, показывающие 95% доверительный интервал
• Диаграммы "ящик с точками" (box dot plots) — накладывают исходные данные в виде точек поверх стандартной диаграммы размаха

При создании диаграмм размаха в различных программах важно учитывать, что они могут использовать разные методы расчёта квартилей. Например:

• R использует метод 7 из 9 вариантов (тип = 7 в функции quantile())
• Excel использует метод линейной интерполяции
• Python (matplotlib) по умолчанию использует медианоцентрированный метод

Для корректного сравнения данных из разных источников необходимо согласовать методы расчёта квартилей или хотя бы учитывать возможные различия при интерпретации. 📈

Практическое использование квартилей Q1 и Q3 в аналитике

Квартили Q1 и Q3 выходят далеко за рамки теоретической статистики и находят широкое применение в практической аналитике различных сфер. Рассмотрим конкретные примеры их использования в 2025 году.

Финансовый анализ и инвестиции

• Оценка волатильности — межквартильный размах (IQR) доходности акций служит робастной мерой волатильности, не так подверженной влиянию экстремальных движений рынка
• Секторный анализ — сравнение IQR разных секторов рынка позволяет выявить отрасли с наибольшей и наименьшей стабильностью
• Алгоритмическая торговля — торговые стратегии, основанные на прорыве квартильных уровней, показывают высокую эффективность в периоды низкой волатильности

Бизнес-аналитика и маркетинг

• Сегментация клиентов — разделение клиентской базы по квартилям среднего чека или частоты покупок для таргетированного маркетинга
• Анализ эффективности — сравнение показателей сотрудников/отделов относительно Q1 и Q3 для выявления лидеров и отстающих
• Ценообразование — установка различных ценовых стратегий для товаров, попадающих в разные квартили спроса

Медицина и фармакология

• Стандартизация лабораторных исследований — определение референсных интервалов на основе межквартильного размаха
• Анализ эффективности лечения — оценка разброса показателей пациентов до и после терапии
• Фармакокинетика — изучение вариабельности концентрации лекарства в крови с помощью квартильного анализа

Машинное обучение и обработка данных

• Предобработка данных — нормализация признаков с помощью межквартильного масштабирования для повышения устойчивости к выбросам
• Обнаружение аномалий — идентификация выбросов на основе правила 1.5×IQR является стандартным методом в системах мониторинга
• Оценка моделей — анализ распределения ошибок модели с помощью квартилей для выявления систематических отклонений

Преимущества использования квартилей в практической аналитике:

• Устойчивость к выбросам и экстремальным значениям
• Возможность работы с данными любого распределения
• Простота интерпретации для бизнес-пользователей
• Эффективность при анализе несимметричных распределений
• Возможность стандартизированного сравнения разнородных данных

С развитием технологий обработки данных в 2025 году квартильный анализ стал доступен в режиме реального времени даже для очень больших данных. Современные системы бизнес-аналитики автоматически рассчитывают и визуализируют квартили, делая этот мощный статистический инструмент доступным для широкого круга пользователей. 🚀

Анализ статистических данных с использованием квартилей Q1 и Q3 открывает широкие перспективы для понимания закономерностей и принятия обоснованных решений. Эти показатели не просто абстрактные математические концепции, а практичные инструменты, позволяющие увидеть структуру данных за пределами средних значений. Владение методами квартильного анализа делает статистика или аналитика более гибким, способным извлекать ценные инсайты из любых распределений и эффективно коммуницировать их заинтересованным сторонам. В мире, где данные становятся всё более обильными и разнообразными, именно такой мульти-инструментальный подход становится ключом к успеху.